Concepto

Aunque no es fácil dar una definición de lo que es un fractal, nos aproximaremos diciendo que es un objeto con una determinada geometría, cuya iteracción o repetición acaba dando lugar a una estructura final de una complicación aparentemente extraordinaria. Es decir, que cada porción del objeto tiene la información necesaria para reproducirlo todo.

El término fue propuesto por el matemático francés Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus (romper) y fracture (fractura).

Los fractales son estructuras geométricas irregulares y de detalle infinito. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.

Los objetos fractales están formados por copias más o menos exactas de partes de sí mismos.

 

El porqué de la Geometría fractal

En la naturaleza se encuentran formas geométricas que no son fáciles de describir por la geometría tradicional o euclídea, como pueden ser las montañas, las nubes, las líneas costeras, las hojas y los árboles, los vegetales en general o los copos de nieve.

Pues bien, la geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza, con lo que nos da la posiblidad de construcción y dominios de estructuras muy complejas a través de procesos muy simples, dichas construcciones de estructuras fractales sirven para modelizar y explorar ciertos fenómenos de la naturaleza.

 

Aplicaciones

Aunque con los fractales no podemos predecir con exactitud determinados comportamientos, sí que podemos hacerlo de forma aproximada. De tal forma que podemos acercarnos en la predicción del comportamiento de un sistema, como por ejemplo el crecimiento demográfico de una especie, la fluctuación de la bolsa, o la formación de algunos órganos animales y vegetales.

Y esto es así porque lo que nos muestran son comportamientos caóticos que no se pueden predecir con certeza, aunque gracias a ellos se han podido crear fórmulas que muestran de una forma bastante fiel determinados comportamientos físicos, de la propia naturaleza o incluso sociales. Estos comportamientos que nos muestran nos lleva a hablar también de la conocida como teoría del caos.

Teoría del Caos

En wikipedia encontramos una definición a la Teoría del Caos como aquella rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles. Es decir, trataría aquellos sistemas complejos en los que un pequeño cambio inicial puede generar una enorme diferencia en el resultado final.

Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
• Estables
• Inestables
• Caóticos

Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor). Un sistema inestable se escapa de los atractores. Y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay «fuerzas» que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran independencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

Por ejemplo, el tiempo atmosférico, según describió Edward Lorenz, se describe por 3 ecuaciones diferenciales bien definidas. Siendo así, conociendo las condiciones iniciales se podría conocer la predicción del tiempo en el futuro. Sin embargo, al ser éste un sistema caótico, y no poder conocer nunca con exactitud los parámetros que fijan las condiciones iniciales (en cualquier sistema de medición, por definición, siempre se comete un error, por pequeño que éste sea) hace que aunque se conozca el modelo, éste diverja de la realidad pasado un cierto tiempo. Por otra parte, el modelo atmosférico es teórico y puede no ser perfecto, y el determinismo, en el que se basa, es también teórico.

Fractales en la naturaleza

Fractales en el Arte

También los artistas modernos trabajan en sus obras con fractales, utilizando programas informáticos con los que obtienen imágenes fractales para componer verdaderas obras de arte con ellas.

La obra de Escher presenta numerosos rasgos fractales a pesar de que se desconoce si investigó y se documentó sobre el tema.

Otras aplicaciones

Comprimir imágenes

Otra aplicación, por ejemplo, sería para comprimir imágenes a través de un algoritmo.

Música

También en obras clásicas de genios de la música como Beethoven, Bach o Mozart, se ha descubierto que están integrados los fractales.

El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.

Conclusión

Aunque vivimos en una época de esplendor científico, los fractales nos demuestran que aún queda mucho por saber. El caos no sólo está presente en la naturaleza, sino que está intrínsecamente relacionado con nuestra realidad.

Con los fractales obtenemos un marco teórico en el desarrollo de fenómenos naturales, lo que implica un asombroso ejemplo de cómo se puede tratar de controlar lo incontrolable, amén de toda la belleza que se puede construir a partir de ellos.